Resolver y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Resolva para y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Escolha uma das equações e resolva-a para y isolando y no lado esquerdo do sinal igual.

$$y-3x=2$$

Some 3x a ambos os lados da equação.

$$y=3x+2$$

Substitua 3x+2 por y na outra equação, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Multiplique -2 vezes 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Some -6x com 7x.

$$x-4=8$$

Some 4 a ambos os lados da equação.

$$x=12$$

Substitua 12 por x em y=3x+2. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y=3\times 12+2$$

Multiplique 3 vezes 12.

$$y=36+2$$

Some 2 com 36.

$$y=38$$

O sistema está resolvido.

$$y=38,x=12$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos y e x da matriz.

$$y=38,x=12$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Para tornar y e -2y iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por -2 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Simplifique.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Subtraia -2y+7x=8 de -2y+6x=-4 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Some -2y com 2y. Os termos -2y e 2y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$6x-7x=-4-8$$

Some 6x com -7x.

$$-x=-4-8$$

Some -4 com -8.

$$-x=-12$$

Divida ambos os lados por -1.

$$x=12$$

Substitua 12 por x em -2y+7x=8. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$-2y+7\times 12=8$$

Multiplique 7 vezes 12.

$$-2y+84=8$$

Subtraia 84 de ambos os lados da equação.

$$-2y=-76$$

Divida ambos os lados por -2.

$$y=38$$

O sistema está resolvido.

$$y=38,x=12$$