Resolver y=x-9;quady=5-x

$$y = x - 9 ; \quad y = 5 - x$$

Resolva para y, x

$$x=7$$

$$y=-2$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Subtraia x de ambos os lados.

$$y-x=-9$$

Considere a segunda equação. Adicionar x em ambos os lados.

$$y+x=5$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Escolha uma das equações e resolva-a para y isolando y no lado esquerdo do sinal igual.

$$y-x=-9$$

Some x a ambos os lados da equação.

$$y=x-9$$

Substitua x-9 por y na outra equação, y+x=5.

$$x-9+x=5$$

Some x com x.

$$2x-9=5$$

Some 9 a ambos os lados da equação.

$$2x=14$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=7$$

Substitua 7 por x em y=x-9. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y=7-9$$

Some -9 com 7.

$$y=-2$$

O sistema está resolvido.

$$y=-2,x=7$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Subtraia x de ambos os lados.

$$y-x=-9$$

Considere a segunda equação. Adicionar x em ambos os lados.

$$y+x=5$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos y e x da matriz.

$$y=-2,x=7$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Subtraia x de ambos os lados.

$$y-x=-9$$

Considere a segunda equação. Adicionar x em ambos os lados.

$$y+x=5$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Subtraia y+x=5 de y-x=-9 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$y-y-x-x=-9-5$$

Some y com -y. Os termos y e -y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-x-x=-9-5$$

Some -x com -x.

$$-2x=-9-5$$

Some -9 com -5.

$$-2x=-14$$

Divida ambos os lados por -2.

$$x=7$$

Substitua 7 por x em y+x=5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y+7=5$$

Subtraia 7 de ambos os lados da equação.

$$y=-2$$

O sistema está resolvido.

$$y=-2,x=7$$