Resolver y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Resolva para y, x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Subtraia x de ambos os lados.

$$y-x=5$$

Considere a segunda equação. Adicionar x em ambos os lados.

$$y+x=3$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$y-x=5,y+x=3$$

Escolha uma das equações e resolva-a para y isolando y no lado esquerdo do sinal igual.

$$y-x=5$$

Some x a ambos os lados da equação.

$$y=x+5$$

Substitua x+5 por y na outra equação, y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Some x com x.

$$2x+5=3$$

Subtraia 5 de ambos os lados da equação.

$$2x=-2$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=-1$$

Substitua -1 por x em y=x+5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y=-1+5$$

Some 5 com -1.

$$y=4$$

O sistema está resolvido.

$$y=4,x=-1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Subtraia x de ambos os lados.

$$y-x=5$$

Considere a segunda equação. Adicionar x em ambos os lados.

$$y+x=3$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$y-x=5,y+x=3$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos y e x da matriz.

$$y=4,x=-1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Subtraia x de ambos os lados.

$$y-x=5$$

Considere a segunda equação. Adicionar x em ambos os lados.

$$y+x=3$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$y-x=5,y+x=3$$

Subtraia y+x=3 de y-x=5 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$y-y-x-x=5-3$$

Some y com -y. Os termos y e -y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-x-x=5-3$$

Some -x com -x.

$$-2x=5-3$$

Some 5 com -3.

$$-2x=2$$

Divida ambos os lados por -2.

$$x=-1$$

Substitua -1 por x em y+x=3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y-1=3$$

Some 1 a ambos os lados da equação.

$$y=4$$

O sistema está resolvido.

$$y=4,x=-1$$