Resolver y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Resolva para y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Subtraia 2x de ambos os lados.

$$y-2x=-1$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Escolha uma das equações e resolva-a para y isolando y no lado esquerdo do sinal igual.

$$y-2x=-1$$

Some 2x a ambos os lados da equação.

$$y=2x-1$$

Substitua 2x-1 por y na outra equação, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Some 2x com 2x.

$$4x-1=3$$

Some 1 a ambos os lados da equação.

$$4x=4$$

Divida ambos os lados por 4.

$$x=1$$

Substitua 1 por x em y=2x-1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y=2-1$$

Some -1 com 2.

$$y=1$$

O sistema está resolvido.

$$y=1,x=1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Subtraia 2x de ambos os lados.

$$y-2x=-1$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos y e x da matriz.

$$y=1,x=1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Subtraia 2x de ambos os lados.

$$y-2x=-1$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Subtraia y+2x=3 de y-2x=-1 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Some y com -y. Os termos y e -y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-2x-2x=-1-3$$

Some -2x com -2x.

$$-4x=-1-3$$

Some -1 com -3.

$$-4x=-4$$

Divida ambos os lados por -4.

$$x=1$$

Substitua 1 por x em y+2x=3. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y+2=3$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$y=1$$

O sistema está resolvido.

$$y=1,x=1$$