Resolver y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Resolva para y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Considere a primeira equação. Subtraia 2x de ambos os lados.

$$y-2x=1$$

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Escolha uma das equações e resolva-a para y isolando y no lado esquerdo do sinal igual.

$$y-2x=1$$

Some 2x a ambos os lados da equação.

$$y=2x+1$$

Substitua 2x+1 por y na outra equação, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Some 2x com x.

$$3x+1=7$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$3x=6$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=2$$

Substitua 2 por x em y=2x+1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y=2\times 2+1$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$y=4+1$$

Some 1 com 4.

$$y=5$$

O sistema está resolvido.

$$y=5,x=2$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Considere a primeira equação. Subtraia 2x de ambos os lados.

$$y-2x=1$$

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos y e x da matriz.

$$y=5,x=2$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Considere a primeira equação. Subtraia 2x de ambos os lados.

$$y-2x=1$$

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Subtraia y+x=7 de y-2x=1 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Some y com -y. Os termos y e -y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-2x-x=1-7$$

Some -2x com -x.

$$-3x=1-7$$

Some 1 com -7.

$$-3x=-6$$

Divida ambos os lados por -3.

$$x=2$$

Substitua 2 por x em y+x=7. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$y+2=7$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$y=5$$

O sistema está resolvido.

$$y=5,x=2$$