Resolver x=(2x-3)*(2x+3)/4x^2-16x+15

$$x= \frac{ (2x-3) \times (2x+3) }{ 4 { x }^{ 2 } -16x+15 }$$

Resolva para x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 7}{4} \approx 3,886000936$$

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}\approx -0,386000936$$

Passos Para a Resolução

Considere \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). A multiplicação pode ser transformada na diferença dos quadrados através da regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calcule o quadrado de 3.

$$x=\frac{\left(2x\right)^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Expanda \left(2x\right)^{2}.

$$x=\frac{2^{2}x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Calcule 2 elevado a 2 e obtenha 4.

$$x=\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Subtraia \frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15} de ambos os lados.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}=0$$

Fatorize a expressão 4x^{2}-16x+15.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Para adicionar ou subtrair expressões, expanda-as para que os denominadores sejam iguais. Multiplique x vezes \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Uma vez que \frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} e \frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} têm o mesmo denominador, subtraia-os ao subtrair os respetivos numeradores.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Efetue as multiplicações em x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right).

$$\frac{4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Combine termos semelhantes em 4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9.

$$\frac{4x^{3}-20x^{2}+15x+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

A variável x não pode ser igual a nenhum dos valores \frac{3}{2},\frac{5}{2}, pois a divisão por zero não está definida. Multiplique ambos os lados da equação por \left(2x-5\right)\left(2x-3\right).

$$4x^{3}-20x^{2}+15x+9=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 9 e q divide o coeficiente inicial 4. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=\frac{3}{2}$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 4x^{3}-20x^{2}+15x+9 por 2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3 para obter 2x^{2}-7x-3. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$2x^{2}-7x-3=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 2 por a, -7 por b e -3 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{7±\sqrt{73}}{4}$$

Resolva a equação 2x^{2}-7x-3=0 quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

Remova os valores aos quais a variável não pode ser igual.

$$x\in \emptyset$$

Apresente todas as soluções encontradas.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

A variável x não pode de ser igual a \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}$$