Resolver x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Resolva para x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x-y=5$$

Some y a ambos os lados da equação.

$$x=y+5$$

Substitua y+5 por x na outra equação, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Multiplique -4 vezes y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Some -4y com 5y.

$$y-20=7$$

Some 20 a ambos os lados da equação.

$$y=27$$

Substitua 27 por y em x=y+5. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=27+5$$

Some 5 com 27.

$$x=32$$

O sistema está resolvido.

$$x=32,y=27$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=32,y=27$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Para tornar x e -4x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por -4 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Simplifique.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Subtraia -4x+5y=7 de -4x+4y=-20 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Some -4x com 4x. Os termos -4x e 4x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$4y-5y=-20-7$$

Some 4y com -5y.

$$-y=-20-7$$

Some -20 com -7.

$$-y=-27$$

Divida ambos os lados por -1.

$$y=27$$

Substitua 27 por y em -4x+5y=7. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$-4x+5\times 27=7$$

Multiplique 5 vezes 27.

$$-4x+135=7$$

Subtraia 135 de ambos os lados da equação.

$$-4x=-128$$

Divida ambos os lados por -4.

$$x=32$$

O sistema está resolvido.

$$x=32,y=27$$