Resolver x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Resolva para x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x-3y=7$$

Some 3y a ambos os lados da equação.

$$x=3y+7$$

Substitua 3y+7 por x na outra equação, 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Multiplique 3 vezes 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Some 9y com 3y.

$$12y+21=9$$

Subtraia 21 de ambos os lados da equação.

$$12y=-12$$

Divida ambos os lados por 12.

$$y=-1$$

Substitua -1 por y em x=3y+7. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Multiplique 3 vezes -1.

$$x=-3+7$$

Some 7 com -3.

$$x=4$$

O sistema está resolvido.

$$x=4,y=-1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=4,y=-1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Para tornar x e 3x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 3 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Simplifique.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Subtraia 3x+3y=9 de 3x-9y=21 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Some 3x com -3x. Os termos 3x e -3x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-9y-3y=21-9$$

Some -9y com -3y.

$$-12y=21-9$$

Some 21 com -9.

$$-12y=12$$

Divida ambos os lados por -12.

$$y=-1$$

Substitua -1 por y em 3x+3y=9. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Multiplique 3 vezes -1.

$$3x-3=9$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$3x=12$$

Divida ambos os lados por 3.

$$x=4$$

O sistema está resolvido.

$$x=4,y=-1$$