Resolver x-2y=1quadtext{and}x+y=7

$$x - 2 y = 1 \quad \text { and } x + y = 7$$

Resolva para x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x-2y=1,x+y=7$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x-2y=1$$

Some 2y a ambos os lados da equação.

$$x=2y+1$$

Substitua 2y+1 por x na outra equação, x+y=7.

$$2y+1+y=7$$

Some 2y com y.

$$3y+1=7$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$3y=6$$

Divida ambos os lados por 3.

$$y=2$$

Substitua 2 por y em x=2y+1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=2\times 2+1$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=4+1$$

Some 1 com 4.

$$x=5$$

O sistema está resolvido.

$$x=5,y=2$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x-2y=1,x+y=7$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=5,y=2$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x-2y=1,x+y=7$$

Subtraia x+y=7 de x-2y=1 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x-x-2y-y=1-7$$

Some x com -x. Os termos x e -x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-2y-y=1-7$$

Some -2y com -y.

$$-3y=1-7$$

Some 1 com -7.

$$-3y=-6$$

Divida ambos os lados por -3.

$$y=2$$

Substitua 2 por y em x+y=7. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x+2=7$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$x=5$$

O sistema está resolvido.

$$x=5,y=2$$