Resolver x-2y=-2;x+2y=10

$$x - 2 y = - 2 ; x + 2 y = 10$$

Resolva para x, y

$$x=4$$

$$y=3$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x-2y=-2,x+2y=10$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x-2y=-2$$

Some 2y a ambos os lados da equação.

$$x=2y-2$$

Substitua -2+2y por x na outra equação, x+2y=10.

$$2y-2+2y=10$$

Some 2y com 2y.

$$4y-2=10$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$4y=12$$

Divida ambos os lados por 4.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em x=2y-2. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=2\times 3-2$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=6-2$$

Some -2 com 6.

$$x=4$$

O sistema está resolvido.

$$x=4,y=3$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x-2y=-2,x+2y=10$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=4,y=3$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x-2y=-2,x+2y=10$$

Subtraia x+2y=10 de x-2y=-2 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$x-x-2y-2y=-2-10$$

Some x com -x. Os termos x e -x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-2y-2y=-2-10$$

Some -2y com -2y.

$$-4y=-2-10$$

Some -2 com -10.

$$-4y=-12$$

Divida ambos os lados por -4.

$$y=3$$

Substitua 3 por y em x+2y=10. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x+2\times 3=10$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x+6=10$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$x=4$$

O sistema está resolvido.

$$x=4,y=3$$