Resolver x(2x+1)-(x-1)^2/2=3

$$x ( 2 x + 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = 3$$

Resolva para x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Multiplique ambos os lados da equação por 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x por 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Para calcular o oposto de x^{2}-2x+1, calcule o oposto de cada termo.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combine 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combine 2x e 2x para obter 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Subtraia 6 de ambos os lados.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Subtraia 6 de -1 para obter -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 3x^{2}+ax+bx-7. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

A solução é o par que devolve a soma 4.

$$a=-3 b=7$$

Reescreva 3x^{2}+4x-7 como \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Fator out 3x no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Decomponha o termo comum x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-1=0 e 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Multiplique ambos os lados da equação por 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x por 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Para calcular o oposto de x^{2}-2x+1, calcule o oposto de cada termo.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combine 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combine 2x e 2x para obter 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Subtraia 6 de ambos os lados.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Subtraia 6 de -1 para obter -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 3 por a, 4 por b e -7 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Calcule o quadrado de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -4 vezes 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplique -12 vezes -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Some 16 com 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Calcule a raiz quadrada de 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Multiplique 2 vezes 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4±10}{6} quando ± for uma adição. Some -4 com 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Divida 6 por 6.

$$x=1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4±10}{6} quando ± for uma subtração. Subtraia 10 de -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Reduza a fração \frac{-14}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Multiplique ambos os lados da equação por 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 2x por 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Para calcular o oposto de x^{2}-2x+1, calcule o oposto de cada termo.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Combine 4x^{2} e -x^{2} para obter 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Combine 2x e 2x para obter 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Adicionar 1 em ambos os lados.

$$3x^{2}+4x=6+1$$

Some 6 e 1 para obter 7.

$$3x^{2}+4x=7$$

Divida ambos os lados por 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Dividir por 3 anula a multiplicação por 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Divida \frac{4}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{2}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{2}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{2}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Some \frac{7}{3} com \frac{4}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Fatorize x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Subtraia \frac{2}{3} de ambos os lados da equação.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$