Resolver x^4-5x^3+8x^2-5x+1=0

$$x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } - 5 x + 1 = 0$$

Resolva para x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

$$x=1$$

Passos Para a Resolução

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 1 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=1$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1 por x-1 para obter x^{3}-4x^{2}+4x-1. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{3}-4x^{2}+4x-1=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -1 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=1$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{3}-4x^{2}+4x-1 por x-1 para obter x^{2}-3x+1. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, -3 por b e 1 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Resolva a equação x^{2}-3x+1=0 quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Apresente todas as soluções encontradas.

$$x=1 x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$