Resolver x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

Resolva para x (complex solution)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1,414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1,414213562i$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Adicionar 12x em ambos os lados.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Subtraia 9 de ambos os lados.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -9 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=1$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{4}-4x^{2}+12x-9 por x-1 para obter x^{3}+x^{2}-3x+9. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 9 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-3$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{3}+x^{2}-3x+9 por x+3 para obter x^{2}-2x+3. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, -2 por b e 3 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Resolva a equação x^{2}-2x+3=0 quando ± é mais e quando ± é menos.

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Apresente todas as soluções encontradas.

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

Resolva para x

$$x=-3$$

$$x=1$$

Passos Para a Resolução

Utilize o teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-3\right)^{2}.

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

Subtraia 4x^{2} de ambos os lados.

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

Adicionar 12x em ambos os lados.

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

Subtraia 9 de ambos os lados.

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -9 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=1$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{4}-4x^{2}+12x-9 por x-1 para obter x^{3}+x^{2}-3x+9. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 9 e q divide o coeficiente inicial 1. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±9,±3,±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-3$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir x^{3}+x^{2}-3x+9 por x+3 para obter x^{2}-2x+3. Resolva a equação onde o resultado é igual a 0.

$$x^{2}-2x+3=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, -2 por b e 3 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Uma vez que a raiz quadrada de um número negativo não está definida no campo real, não existem soluções.

$$x\in \emptyset$$

Apresente todas as soluções encontradas.

$$x=1 x=-3$$