Resolver x^2-x=42

$$x ^ { 2 } - x = 42$$

Resolva para x

$$x=-6$$

$$x=7$$

Passos com a Fatorização

Subtraia 42 de ambos os lados.

$$x^{2}-x-42=0$$

Para resolver a equação, o fator x^{2}-x-42 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=-42$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-7 b=6$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-7=0 e x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 42 de ambos os lados.

$$x^{2}-x-42=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-42. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

A solução é o par que devolve a soma -1.

$$a=-7 b=6$$

Reescreva x^{2}-x-42 como \left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

Fator out x no primeiro e 6 no segundo grupo.

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

Decomponha o termo comum x-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-7=0 e x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}-x=42$$

Subtraia 42 de ambos os lados da equação.

$$x^{2}-x-42=42-42$$

Subtrair 42 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$x^{2}-x-42=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -1 por b e -42 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -42.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2}$$

Some 1 com 168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2}$$

O oposto de -1 é 1.

$$x=\frac{1±13}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±13}{2} quando ± for uma adição. Some 1 com 13.

$$x=\frac{14}{2}$$

Divida 14 por 2.

$$x=7$$

Agora, resolva a equação x=\frac{1±13}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de 1.

$$x=-\frac{12}{2}$$

Divida -12 por 2.

$$x=-6$$

A equação está resolvida.

$$x=7 x=-6$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x=42$$

Divida -1, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Some 42 com \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Fatorize x^{2}-x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Some \frac{1}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=7 x=-6$$