Resolver x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Resolva para x

$$x=6$$

$$x=7$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, o fator x^{2}-13x+42 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-13 ab=42$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

A solução é o par que devolve a soma -13.

$$a=-7 b=-6$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-7=0 e x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx+42. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

A solução é o par que devolve a soma -13.

$$a=-7 b=-6$$

Reescreva x^{2}-13x+42 como \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Fator out x no primeiro e -6 no segundo grupo.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Decomponha o termo comum x-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-7=0 e x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -13 por b e 42 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Calcule o quadrado de -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Multiplique -4 vezes 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Some 169 com -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

O oposto de -13 é 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{13±1}{2} quando ± for uma adição. Some 13 com 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Divida 14 por 2.

$$x=7$$

Agora, resolva a equação x=\frac{13±1}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 1 de 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Divida 12 por 2.

$$x=6$$

A equação está resolvida.

$$x=7 x=6$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Subtraia 42 de ambos os lados da equação.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Subtrair 42 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Divida -13, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{13}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{13}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{13}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Some -42 com \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Fatorize x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Some \frac{13}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=7 x=6$$