Resolver x^2-11x+28=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 28 = 0$$

Resolva para x

$$x=4$$

$$x=7$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, o fator x^{2}-11x+28 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-11 ab=28$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

A solução é o par que devolve a soma -11.

$$a=-7 b=-4$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-7=0 e x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx+28. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

A solução é o par que devolve a soma -11.

$$a=-7 b=-4$$

Reescreva x^{2}-11x+28 como \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Fator out x no primeiro e -4 no segundo grupo.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Decomponha o termo comum x-7 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-7=0 e x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -11 por b e 28 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Calcule o quadrado de -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Multiplique -4 vezes 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Some 121 com -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

O oposto de -11 é 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{11±3}{2} quando ± for uma adição. Some 11 com 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Divida 14 por 2.

$$x=7$$

Agora, resolva a equação x=\frac{11±3}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 3 de 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Divida 8 por 2.

$$x=4$$

A equação está resolvida.

$$x=7 x=4$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Subtraia 28 de ambos os lados da equação.

$$x^{2}-11x+28-28=-28$$

Subtrair 28 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$x^{2}-11x=-28$$

Divida -11, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{11}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{11}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{11}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Some -28 com \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Fatorize x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Some \frac{11}{2} a ambos os lados da equação.

$$x=7 x=4$$