Resolver x^2+x-42=0

$$x ^ { 2 } + x - 42 = 0$$

Resolva para x

$$x=-7$$

$$x=6$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, o fator x^{2}+x-42 utilizando a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=1 ab=-42$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

A solução é o par que devolve a soma 1.

$$a=-6 b=7$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-42. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

A solução é o par que devolve a soma 1.

$$a=-6 b=7$$

Reescreva x^{2}+x-42 como \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

Fator out x no primeiro e 7 no segundo grupo.

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Decomponha o termo comum x-6 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-6=0 e x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}+x-42=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, 1 por b e -42 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -42.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

Some 1 com 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 169.

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±13}{2} quando ± for uma adição. Some -1 com 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Divida 12 por 2.

$$x=6$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-1±13}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 13 de -1.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Divida -14 por 2.

$$x=-7$$

A equação está resolvida.

$$x=6 x=-7$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-42=0$$

Some 42 a ambos os lados da equação.

$$x^{2}+x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Subtrair -42 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$x^{2}+x=-\left(-42\right)$$

Subtraia -42 de 0.

$$x^{2}+x=42$$

Divida 1, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Some 42 com \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Fatorize x^{2}+x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=6 x=-7$$