Resolver x^2+34x-71000=0

$$x ^ { 2 } + 34 x - 71000 = 0$$

Resolva para x

$$x=-284$$

$$x=250$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, fatorize x^{2}+34x-71000 ao utilizar a fórmula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=34 ab=-71000$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

A solução é o par que devolve a soma 34.

$$a=-250 b=284$$

Reescreva a expressão \left(x+a\right)\left(x+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione x-250=0 e x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-71000. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=34 ab=1\left(-71000\right)=-71000$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

A solução é o par que devolve a soma 34.

$$a=-250 b=284$$

Reescreva x^{2}+34x-71000 como \left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right).

$$\left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right)$$

Decomponha x no primeiro grupo e 284 no segundo.

$$x\left(x-250\right)+284\left(x-250\right)$$

Decomponha o termo comum x-250 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione x-250=0 e x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, 34 por b e -71000 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de 34.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -71000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156+284000}}{2}$$

Some 1156 com 284000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{285156}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 285156.

$$x=\frac{-34±534}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-34±534}{2} quando ± for uma adição. Some -34 com 534.

$$x=\frac{500}{2}$$

Divida 500 por 2.

$$x=250$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-34±534}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 534 de -34.

$$x=-\frac{568}{2}$$

Divida -568 por 2.

$$x=-284$$

A equação está resolvida.

$$x=250 x=-284$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Some 71000 a ambos os lados da equação.

$$x^{2}+34x-71000-\left(-71000\right)=-\left(-71000\right)$$

Subtrair -71000 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$x^{2}+34x=-\left(-71000\right)$$

Subtraia -71000 de 0.

$$x^{2}+34x=71000$$

Divida 34, o coeficiente do termo x, por 2 para obter 17. Em seguida, some o quadrado de 17 a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+34x+17^{2}=71000+17^{2}$$

Calcule o quadrado de 17.

$$x^{2}+34x+289=71000+289$$

Some 71000 com 289.

$$x^{2}+34x+289=71289$$

Fatorize x^{2}+34x+289. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=71289$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{71289}$$

Simplifique.

$$x+17=267 x+17=-267$$

Subtraia 17 de ambos os lados da equação.

$$x=250 x=-284$$