Resolver x^2+(x+1)^2=365

$$x ^ { 2 } + ( x + 1 ) ^ { 2 } = 365$$

Resolva para x

$$x=-14$$

$$x=13$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=365$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=365$$

Subtraia 365 de ambos os lados.

$$2x^{2}+2x+1-365=0$$

Subtraia 365 de 1 para obter -364.

$$2x^{2}+2x-364=0$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x^{2}+x-182=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como x^{2}+ax+bx-182. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=1 ab=1\left(-182\right)=-182$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -182.

$$-1,182 -2,91 -7,26 -13,14$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+182=181 -2+91=89 -7+26=19 -13+14=1$$

A solução é o par que devolve a soma 1.

$$a=-13 b=14$$

Reescreva x^{2}+x-182 como \left(x^{2}-13x\right)+\left(14x-182\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(14x-182\right)$$

Fator out x no primeiro e 14 no segundo grupo.

$$x\left(x-13\right)+14\left(x-13\right)$$

Decomponha o termo comum x-13 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-13\right)\left(x+14\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-13=0 e x+14=0.

$$x=13 x=-14$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=365$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=365$$

Subtraia 365 de ambos os lados.

$$2x^{2}+2x+1-365=0$$

Subtraia 365 de 1 para obter -364.

$$2x^{2}+2x-364=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 2 por a, 2 por b e -364 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-364\right)}}{2\times 2}$$

Calcule o quadrado de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-364\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -4 vezes 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-364\right)}}{2\times 2}$$

Multiplique -8 vezes -364.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+2912}}{2\times 2}$$

Some 4 com 2912.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2916}}{2\times 2}$$

Calcule a raiz quadrada de 2916.

$$x=\frac{-2±54}{2\times 2}$$

Multiplique 2 vezes 2.

$$x=\frac{-2±54}{4}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2±54}{4} quando ± for uma adição. Some -2 com 54.

$$x=\frac{52}{4}$$

Divida 52 por 4.

$$x=13$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2±54}{4} quando ± for uma subtração. Subtraia 54 de -2.

$$x=-\frac{56}{4}$$

Divida -56 por 4.

$$x=-14$$

A equação está resolvida.

$$x=13 x=-14$$

Passos Para Completar o Quadrado

Utilize o teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+x^{2}+2x+1=365$$

Combine x^{2} e x^{2} para obter 2x^{2}.

$$2x^{2}+2x+1=365$$

Subtraia 1 de ambos os lados.

$$2x^{2}+2x=365-1$$

Subtraia 1 de 365 para obter 364.

$$2x^{2}+2x=364$$

Divida ambos os lados por 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=\frac{364}{2}$$

Dividir por 2 anula a multiplicação por 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=\frac{364}{2}$$

Divida 2 por 2.

$$x^{2}+x=\frac{364}{2}$$

Divida 364 por 2.

$$x^{2}+x=182$$

Divida 1, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=182+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=182+\frac{1}{4}$$

Some 182 com \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{729}{4}$$

Fatorize x^{2}+x+\frac{1}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{27}{2}$$

Subtraia \frac{1}{2} de ambos os lados da equação.

$$x=13 x=-14$$