Resolver x^10-1

$$x ^ { 10 } - 1$$

Fatorizar

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)$$

Passos Para a Resolução

Reescreva x^{10}-1 como \left(x^{5}\right)^{2}-1^{2}. A diferença de quadrados pode ser fatorizada através da regra: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right).

$$\left(x^{5}-1\right)\left(x^{5}+1\right)$$

Considere x^{5}-1. De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -1 e q divide o coeficiente inicial 1. Uma dessas raízes é 1. Fatorize o polinómio ao dividi-lo por x-1.

$$\left(x-1\right)\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)$$

Considere x^{5}+1. De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 1 e q divide o coeficiente inicial 1. Uma dessas raízes é -1. Fatorize o polinómio ao dividi-lo por x+1.

$$\left(x+1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)$$

Reescreva a expressão fatorizada completa. Os seguintes polinómios não são fatorizados, porque não têm raízes racionais: x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1,x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1.

$$\left(x-1\right)\left(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x+1\right)\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)$$

Avaliar

$$x^{10}-1$$