Resolver x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Resolva para x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x+3y=6$$

Subtraia 3y de ambos os lados da equação.

$$x=-3y+6$$

Substitua -3y+6 por x na outra equação, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Multiplique 5 vezes -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Some -15y com -2y.

$$-17y+30=13$$

Subtraia 30 de ambos os lados da equação.

$$-17y=-17$$

Divida ambos os lados por -17.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em x=-3y+6. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-3+6$$

Some 6 com -3.

$$x=3$$

O sistema está resolvido.

$$x=3,y=1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=3,y=1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Para tornar x e 5x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 5 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Simplifique.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Subtraia 5x-2y=13 de 5x+15y=30 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Some 5x com -5x. Os termos 5x e -5x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$15y+2y=30-13$$

Some 15y com 2y.

$$17y=30-13$$

Some 30 com -13.

$$17y=17$$

Divida ambos os lados por 17.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em 5x-2y=13. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$5x-2=13$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$5x=15$$

Divida ambos os lados por 5.

$$x=3$$

O sistema está resolvido.

$$x=3,y=1$$