Resolver x+2y=-1;2x-3y=12

$$x + 2 y = - 1 ; 2 x - 3 y = 12$$

Resolva para x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$x+2y=-1$$

Subtraia 2y de ambos os lados da equação.

$$x=-2y-1$$

Substitua -2y-1 por x na outra equação, 2x-3y=12.

$$2\left(-2y-1\right)-3y=12$$

Multiplique 2 vezes -2y-1.

$$-4y-2-3y=12$$

Some -4y com -3y.

$$-7y-2=12$$

Some 2 a ambos os lados da equação.

$$-7y=14$$

Divida ambos os lados por -7.

$$y=-2$$

Substitua -2 por y em x=-2y-1. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=-2\left(-2\right)-1$$

Multiplique -2 vezes -2.

$$x=4-1$$

Some -1 com 4.

$$x=3$$

O sistema está resolvido.

$$x=3,y=-2$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 2}&-\frac{2}{-3-2\times 2}\\-\frac{2}{-3-2\times 2}&\frac{1}{-3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-1\right)+\frac{2}{7}\times 12\\\frac{2}{7}\left(-1\right)-\frac{1}{7}\times 12\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=3,y=-2$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$x+2y=-1,2x-3y=12$$

Para tornar x e 2x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 2 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 1.

$$2x+2\times 2y=2\left(-1\right),2x-3y=12$$

Simplifique.

$$2x+4y=-2,2x-3y=12$$

Subtraia 2x-3y=12 de 2x+4y=-2 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$2x-2x+4y+3y=-2-12$$

Some 2x com -2x. Os termos 2x e -2x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$4y+3y=-2-12$$

Some 4y com 3y.

$$7y=-2-12$$

Some -2 com -12.

$$7y=-14$$

Divida ambos os lados por 7.

$$y=-2$$

Substitua -2 por y em 2x-3y=12. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$2x-3\left(-2\right)=12$$

Multiplique -3 vezes -2.

$$2x+6=12$$

Subtraia 6 de ambos os lados da equação.

$$2x=6$$

Divida ambos os lados por 2.

$$x=3$$

O sistema está resolvido.

$$x=3,y=-2$$