Resolver x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Resolva para x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Multiplicar ambos os lados da equação por 6, o mínimo múltiplo comum de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3 por 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combine 6x e 9x para obter 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -2 por x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combine 15x e -2x para obter 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Some 3 e 4 para obter 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtraia 6x^{2} de ambos os lados.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Adicionar 12 em ambos os lados.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Some 7 e 12 para obter 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Reformule o polinómio para o colocar no formato padrão. Coloque os termos pela ordem da potência mais elevada para a mais baixa.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como -6x^{2}+ax+bx+19. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

A solução é o par que devolve a soma 13.

$$a=19 b=-6$$

Reescreva -6x^{2}+13x+19 como \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Decomponha -x no primeiro grupo e -1 no segundo.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Decomponha o termo comum 6x-19 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione 6x-19=0 e -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Multiplicar ambos os lados da equação por 6, o mínimo múltiplo comum de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3 por 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combine 6x e 9x para obter 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -2 por x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combine 15x e -2x para obter 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Some 3 e 4 para obter 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtraia 6x^{2} de ambos os lados.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Adicionar 12 em ambos os lados.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Some 7 e 12 para obter 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua -6 por a, 13 por b e 19 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Calcule o quadrado de 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplique -4 vezes -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplique 24 vezes 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Some 169 com 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Calcule a raiz quadrada de 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Multiplique 2 vezes -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-13±25}{-12} quando ± for uma adição. Some -13 com 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Divida 12 por -12.

$$x=-1$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-13±25}{-12} quando ± for uma subtração. Subtraia 25 de -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Reduza a fração \frac{-38}{-12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

A equação está resolvida.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Multiplicar ambos os lados da equação por 6, o mínimo múltiplo comum de 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar 3 por 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Combine 6x e 9x para obter 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Utilize a propriedade distributiva para multiplicar -2 por x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Combine 15x e -2x para obter 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Some 3 e 4 para obter 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtraia 6x^{2} de ambos os lados.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Subtraia 7 de ambos os lados.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Subtraia 7 de -12 para obter -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Divida ambos os lados por -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Dividir por -6 anula a multiplicação por -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Divida 13 por -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Divida -19 por -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Divida -\frac{13}{6}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{13}{12}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{13}{12} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{13}{12}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Some \frac{19}{6} com \frac{169}{144} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Fatorize x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Some \frac{13}{12} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$