Resolver t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Resolva para t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, o fator t^{2}-24t-180 utilizando a fórmula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A solução é o par que devolve a soma -24.

$$a=-30 b=6$$

Reescreva a expressão \left(t+a\right)\left(t+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-30=0 e t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como t^{2}+at+bt-180. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A solução é o par que devolve a soma -24.

$$a=-30 b=6$$

Reescreva t^{2}-24t-180 como \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Fator out t no primeiro e 6 no segundo grupo.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Decomponha o termo comum t-30 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva t-30=0 e t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -24 por b e -180 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de -24.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Some 576 com 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

O oposto de -24 é 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{24±36}{2} quando ± for uma adição. Some 24 com 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Divida 60 por 2.

$$t=30$$

Agora, resolva a equação t=\frac{24±36}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 36 de 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Divida -12 por 2.

$$t=-6$$

A equação está resolvida.

$$t=30 t=-6$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Some 180 a ambos os lados da equação.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Subtrair -180 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Subtraia -180 de 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Divida -24, o coeficiente do termo x, 2 para obter -12. Em seguida, adicione o quadrado de -12 para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -12.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Some 180 com 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Fatorize t^{2}-24t+144. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Simplifique.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Some 12 a ambos os lados da equação.

$$t=30 t=-6$$