Resolver n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Resolver o valor n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Calcule 2009 elevado a 2 e obtenha 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Para resolver a desigualdade, fatorize o lado esquerdo. O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 1 por a, -4019 por b e 4036081 por c na fórmula quadrática.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Efetue os cálculos.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Resolva a equação n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} quando ± é mais e quando ± é menos.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Rescreva a desigualdade ao utilizar as soluções obtidas.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

Para que o produto seja ≤0, um dos valores n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} e n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} tem de ser ≥0 e o outro tem de ser ≤0. Considere o caso quando n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 e n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Isto é falso para qualquer valor n.

$$n\in \emptyset$$

Considere o caso quando n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 e n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

A solução que satisfaz ambas as desigualdades é n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

A solução final é a união das soluções obtidas.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$