Resolver n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Resolva para n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Passos com a Fatorização

Para resolver a equação, o fator n^{2}-11n-60 utilizando a fórmula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

A solução é o par que devolve a soma -11.

$$a=-15 b=4$$

Reescreva a expressão \left(n+a\right)\left(n+b\right) fatorizada ao utilizar os valores obtidos.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-15=0 e n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como n^{2}+an+bn-60. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

A solução é o par que devolve a soma -11.

$$a=-15 b=4$$

Reescreva n^{2}-11n-60 como \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Fator out n no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Decomponha o termo comum n-15 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva n-15=0 e n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 1 por a, -11 por b e -60 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Calcule o quadrado de -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Multiplique -4 vezes -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Some 121 com 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Calcule a raiz quadrada de 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

O oposto de -11 é 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{11±19}{2} quando ± for uma adição. Some 11 com 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Divida 30 por 2.

$$n=15$$

Agora, resolva a equação n=\frac{11±19}{2} quando ± for uma subtração. Subtraia 19 de 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Divida -8 por 2.

$$n=-4$$

A equação está resolvida.

$$n=15 n=-4$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Some 60 a ambos os lados da equação.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Subtrair -60 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Subtraia -60 de 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Divida -11, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{11}{2}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{11}{2} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{11}{2}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Some 60 com \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Fatorize n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Simplifique.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Some \frac{11}{2} a ambos os lados da equação.

$$n=15 n=-4$$