Resolver 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Fatorizar

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Passos Para a Resolução

Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 90m^{2}+am+bm-45. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -4050.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

A solução é o par que devolve a soma -137.

$$a=-162 b=25$$

Reescreva 90m^{2}-137m-45 como \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

Fator out 18m no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Decomponha o termo comum 5m-9 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Calcule o quadrado de -137.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Multiplique -4 vezes 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Multiplique -360 vezes -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Some 18769 com 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Calcule a raiz quadrada de 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

O oposto de -137 é 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Multiplique 2 vezes 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Agora, resolva a equação m=\frac{137±187}{180} quando ± for uma adição. Some 137 com 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Reduza a fração \frac{324}{180} para os termos mais baixos ao retirar e anular 36.

$$m=\frac{9}{5}$$

Agora, resolva a equação m=\frac{137±187}{180} quando ± for uma subtração. Subtraia 187 de 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Reduza a fração \frac{-50}{180} para os termos mais baixos ao retirar e anular 10.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{9}{5} por x_{1} e -\frac{5}{18} por x_{2}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Simplifique todas as expressões de p-\left(-q\right) para p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Subtraia \frac{9}{5} de m ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Some \frac{5}{18} com m ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Multiplique \frac{5m-9}{5} vezes \frac{18m+5}{18} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Multiplique 5 vezes 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Anule o maior fator comum 90 em 90 e 90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

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$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$