Resolver 9y^2-12y+4=y^2

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

Resolva para y

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=1$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia y^{2} de ambos os lados.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combine 9y^{2} e -y^{2} para obter 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Divida ambos os lados por 4.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 2y^{2}+ay+by+1. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. O único par é a solução do sistema.

$$a=-2 b=-1$$

Reescreva 2y^{2}-3y+1 como \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right).

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

Fator out 2y no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Decomponha o termo comum y-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva y-1=0 e 2y-1=0.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Subtraia y^{2} de ambos os lados.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combine 9y^{2} e -y^{2} para obter 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 8 por a, -12 por b e 4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Calcule o quadrado de -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Multiplique -4 vezes 8.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

Multiplique -32 vezes 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

Some 144 com -128.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

Calcule a raiz quadrada de 16.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

O oposto de -12 é 12.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

Multiplique 2 vezes 8.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{12±4}{16} quando ± for uma adição. Some 12 com 4.

$$y=\frac{16}{16}$$

Divida 16 por 16.

$$y=1$$

Agora, resolva a equação y=\frac{12±4}{16} quando ± for uma subtração. Subtraia 4 de 12.

$$y=\frac{8}{16}$$

Reduza a fração \frac{8}{16} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

A equação está resolvida.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Subtraia y^{2} de ambos os lados.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Combine 9y^{2} e -y^{2} para obter 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Subtraia 4 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Divida ambos os lados por 8.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

Dividir por 8 anula a multiplicação por 8.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

Reduza a fração \frac{-12}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

Reduza a fração \frac{-4}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Divida -\frac{3}{2}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{3}{4}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{3}{4} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{3}{4}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Some -\frac{1}{2} com \frac{9}{16} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Fatorize y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Simplifique.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Some \frac{3}{4} a ambos os lados da equação.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$