Resolver 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Resolva para y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, -12 por b e 2 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplique -36 vezes 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Some 144 com -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

O oposto de -12 é 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} quando ± for uma adição. Some 12 com 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Divida 12+6\sqrt{2} por 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} quando ± for uma subtração. Subtraia 6\sqrt{2} de 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Divida 12-6\sqrt{2} por 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

A equação está resolvida.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Subtraia 2 de ambos os lados da equação.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Subtrair 2 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Reduza a fração \frac{-12}{9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Divida -\frac{4}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{2}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{2}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{2}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Some -\frac{2}{9} com \frac{4}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Fatorize y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Simplifique.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Some \frac{2}{3} a ambos os lados da equação.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$