Resolver 9x-4y=14text{247}7x-3y=11

$$9 x - 4 y = 14 \text { 247 } 7 x - 3 y = 11$$

Resolva para x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$9x-4y=14,7x-3y=11$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$9x-4y=14$$

Some 4y a ambos os lados da equação.

$$9x=4y+14$$

Divida ambos os lados por 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+14\right)$$

Multiplique \frac{1}{9} vezes 4y+14.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{14}{9}$$

Substitua \frac{4y+14}{9} por x na outra equação, 7x-3y=11.

$$7\left(\frac{4}{9}y+\frac{14}{9}\right)-3y=11$$

Multiplique 7 vezes \frac{4y+14}{9}.

$$\frac{28}{9}y+\frac{98}{9}-3y=11$$

Some \frac{28y}{9} com -3y.

$$\frac{1}{9}y+\frac{98}{9}=11$$

Subtraia \frac{98}{9} de ambos os lados da equação.

$$\frac{1}{9}y=\frac{1}{9}$$

Multiplique ambos os lados por 9.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em x=\frac{4}{9}y+\frac{14}{9}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{4+14}{9}$$

Some \frac{14}{9} com \frac{4}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=2$$

O sistema está resolvido.

$$x=2,y=1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$9x-4y=14,7x-3y=11$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{9\left(-3\right)-\left(-4\times 7\right)}&-\frac{-4}{9\left(-3\right)-\left(-4\times 7\right)}\\-\frac{7}{9\left(-3\right)-\left(-4\times 7\right)}&\frac{9}{9\left(-3\right)-\left(-4\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\-7&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 14+4\times 11\\-7\times 14+9\times 11\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=2,y=1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$9x-4y=14,7x-3y=11$$

Para tornar 9x e 7x iguais, multiplique todos os termos em cada lado da primeira equação por 7 e todos os termos em cada lado da segunda equação por 9.

$$7\times 9x+7\left(-4\right)y=7\times 14,9\times 7x+9\left(-3\right)y=9\times 11$$

Simplifique.

$$63x-28y=98,63x-27y=99$$

Subtraia 63x-27y=99 de 63x-28y=98 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$63x-63x-28y+27y=98-99$$

Some 63x com -63x. Os termos 63x e -63x são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$-28y+27y=98-99$$

Some -28y com 27y.

$$-y=98-99$$

Some 98 com -99.

$$-y=-1$$

Divida ambos os lados por -1.

$$y=1$$

Substitua 1 por y em 7x-3y=11. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$7x-3=11$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$7x=14$$

Divida ambos os lados por 7.

$$x=2$$

O sistema está resolvido.

$$x=2,y=1$$