Resolver 9x^2-24x=65

$$9 x ^ { 2 } - 24 x = 65$$

Resolva para x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x = \frac{13}{3} = 4\frac{1}{3} \approx 4,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 65 de ambos os lados.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 9x^{2}+ax+bx-65. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-24 ab=9\left(-65\right)=-585$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -585.

$$1,-585 3,-195 5,-117 9,-65 13,-45 15,-39$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-585=-584 3-195=-192 5-117=-112 9-65=-56 13-45=-32 15-39=-24$$

A solução é o par que devolve a soma -24.

$$a=-39 b=15$$

Reescreva 9x^{2}-24x-65 como \left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right).

$$\left(9x^{2}-39x\right)+\left(15x-65\right)$$

Fator out 3x no primeiro e 5 no segundo grupo.

$$3x\left(3x-13\right)+5\left(3x-13\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-13 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-13\right)\left(3x+5\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-13=0 e 3x+5=0.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$9x^{2}-24x=65$$

Subtraia 65 de ambos os lados da equação.

$$9x^{2}-24x-65=65-65$$

Subtrair 65 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$9x^{2}-24x-65=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, -24 por b e -65 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-65\right)}}{2\times 9}$$

Multiplique -36 vezes -65.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+2340}}{2\times 9}$$

Some 576 com 2340.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2916}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 2916.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±54}{2\times 9}$$

O oposto de -24 é 24.

$$x=\frac{24±54}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$x=\frac{24±54}{18}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{24±54}{18} quando ± for uma adição. Some 24 com 54.

$$x=\frac{78}{18}$$

Reduza a fração \frac{78}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=\frac{13}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{24±54}{18} quando ± for uma subtração. Subtraia 54 de 24.

$$x=-\frac{30}{18}$$

Reduza a fração \frac{-30}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=-\frac{5}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=65$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{65}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{65}{9}$$

Reduza a fração \frac{-24}{9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{65}{9}$$

Divida -\frac{8}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{4}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{4}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{65}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{4}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{65+16}{9}$$

Some \frac{65}{9} com \frac{16}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=9$$

Fatorize x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=9$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifique.

$$x-\frac{4}{3}=3 x-\frac{4}{3}=-3$$

Some \frac{4}{3} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{13}{3} x=-\frac{5}{3}$$