Resolver 9x^2-15x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 15 x + 4 = 0$$

Resolva para x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 9x^{2}+ax+bx+4. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-15 ab=9\times 4=36$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

A solução é o par que devolve a soma -15.

$$a=-12 b=-3$$

Reescreva 9x^{2}-15x+4 como \left(9x^{2}-12x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Fator out 3x no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$3x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-1\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 3x-4=0 e 3x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$9x^{2}-15x+4=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, -15 por b e 4 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multiplique -36 vezes 4.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-144}}{2\times 9}$$

Some 225 com -144.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{81}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 81.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±9}{2\times 9}$$

O oposto de -15 é 15.

$$x=\frac{15±9}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$x=\frac{15±9}{18}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{15±9}{18} quando ± for uma adição. Some 15 com 9.

$$x=\frac{24}{18}$$

Reduza a fração \frac{24}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{15±9}{18} quando ± for uma subtração. Subtraia 9 de 15.

$$x=\frac{6}{18}$$

Reduza a fração \frac{6}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-15x+4=0$$

Subtraia 4 de ambos os lados da equação.

$$9x^{2}-15x+4-4=-4$$

Subtrair 4 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$9x^{2}-15x=-4$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9x^{2}-15x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{9}\right)x=-\frac{4}{9}$$

Reduza a fração \frac{-15}{9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{9}$$

Divida -\frac{5}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{5}{6}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{5}{6} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{5}{6}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{36}$$

Some -\frac{4}{9} com \frac{25}{36} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{4}$$

Fatorize x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{2}$$

Some \frac{5}{6} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{3}$$