Resolver 9t^2+6t+1=0

$$9 t ^ { 2 } + 6 t + 1 = 0$$

Resolva para t

$$t=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 9t^{2}+at+bt+1. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=6 ab=9\times 1=9$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 9.

$$1,9 3,3$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+9=10 3+3=6$$

A solução é o par que devolve a soma 6.

$$a=3 b=3$$

Reescreva 9t^{2}+6t+1 como \left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right).

$$\left(9t^{2}+3t\right)+\left(3t+1\right)$$

Decomponha 3t em 9t^{2}+3t.

$$3t\left(3t+1\right)+3t+1$$

Decomponha o termo comum 3t+1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3t+1\right)\left(3t+1\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(3t+1\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva 3t+1=0.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, 6 por b e 1 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de 6.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\times 9}$$

Some 36 com -36.

$$t=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$t=-\frac{6}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$t=-\frac{6}{18}$$

Reduza a fração \frac{-6}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$9t^{2}+6t+1=0$$

Subtraia 1 de ambos os lados da equação.

$$9t^{2}+6t+1-1=-1$$

Subtrair 1 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$9t^{2}+6t=-1$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9t^{2}+6t}{9}=-\frac{1}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$t^{2}+\frac{6}{9}t=-\frac{1}{9}$$

Reduza a fração \frac{6}{9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t=-\frac{1}{9}$$

Divida \frac{2}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{1}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{1}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{1}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Some -\frac{1}{9} com \frac{1}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}=0$$

Fatorize t^{2}+\frac{2}{3}t+\frac{1}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$t+\frac{1}{3}=0 t+\frac{1}{3}=0$$

Subtraia \frac{1}{3} de ambos os lados da equação.

$$t=-\frac{1}{3} t=-\frac{1}{3}$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$t=-\frac{1}{3}$$