Resolver 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Resolva para n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Subtraia 3n^{2} de ambos os lados.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combine 9n^{2} e -3n^{2} para obter 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 6n^{2}+an+bn+20. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

A solução é o par que devolve a soma -23.

$$a=-15 b=-8$$

Reescreva 6n^{2}-23n+20 como \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Decomponha 3n no primeiro grupo e -4 no segundo.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Decomponha o termo comum 2n-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione 2n-5=0 e 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Subtraia 3n^{2} de ambos os lados.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combine 9n^{2} e -3n^{2} para obter 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 6 por a, -23 por b e 20 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Calcule o quadrado de -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplique -4 vezes 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Multiplique -24 vezes 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Some 529 com -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Calcule a raiz quadrada de 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

O oposto de -23 é 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Multiplique 2 vezes 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{23±7}{12} quando ± for uma adição. Some 23 com 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Reduza a fração \frac{30}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Agora, resolva a equação n=\frac{23±7}{12} quando ± for uma subtração. Subtraia 7 de 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Reduza a fração \frac{16}{12} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

A equação está resolvida.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

Subtraia 3n^{2} de ambos os lados.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Combine 9n^{2} e -3n^{2} para obter 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Subtraia 20 de ambos os lados. Um valor subtraído de zero dá a respetiva negação.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Divida ambos os lados por 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Dividir por 6 anula a multiplicação por 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Reduza a fração \frac{-20}{6} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Divida -\frac{23}{6}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{23}{12}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{23}{12} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{23}{12}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Some -\frac{10}{3} com \frac{529}{144} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Fatorize n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifique.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Some \frac{23}{12} a ambos os lados da equação.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$