Resolver 9a^2+24a+16=0

$$9 a ^ { 2 } + 24 a + 16 = 0$$

Resolva para a

$$a = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 9a^{2}+aa+ba+16. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=24 ab=9\times 16=144$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é positivo, a e b são ambos positivos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Calcule a soma de cada par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

A solução é o par que devolve a soma 24.

$$a=12 b=12$$

Reescreva 9a^{2}+24a+16 como \left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right).

$$\left(9a^{2}+12a\right)+\left(12a+16\right)$$

Fator out 3a no primeiro e 4 no segundo grupo.

$$3a\left(3a+4\right)+4\left(3a+4\right)$$

Decomponha o termo comum 3a+4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3a+4\right)\left(3a+4\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(3a+4\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva 3a+4=0.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, 24 por b e 16 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de 24.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplique -36 vezes 16.

$$a=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Some 576 com -576.

$$a=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$a=-\frac{24}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$a=-\frac{24}{18}$$

Reduza a fração \frac{-24}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$a=-\frac{4}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$9a^{2}+24a+16=0$$

Subtraia 16 de ambos os lados da equação.

$$9a^{2}+24a+16-16=-16$$

Subtrair 16 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$9a^{2}+24a=-16$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9a^{2}+24a}{9}=-\frac{16}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$a^{2}+\frac{24}{9}a=-\frac{16}{9}$$

Reduza a fração \frac{24}{9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a=-\frac{16}{9}$$

Divida \frac{8}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{4}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{4}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{4}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Some -\frac{16}{9} com \frac{16}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}=0$$

Fatorize a^{2}+\frac{8}{3}a+\frac{16}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(a+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$a+\frac{4}{3}=0 a+\frac{4}{3}=0$$

Subtraia \frac{4}{3} de ambos os lados da equação.

$$a=-\frac{4}{3} a=-\frac{4}{3}$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$a=-\frac{4}{3}$$