Resolver 9x^2-30x+25=0

$$9 { x }^{ 2 } -30x+25=0$$

Resolva para x

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 9x^{2}+ax+bx+25. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=-30 ab=9\times 25=225$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

A solução é o par que devolve a soma -30.

$$a=-15 b=-15$$

Reescreva 9x^{2}-30x+25 como \left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right).

$$\left(9x^{2}-15x\right)+\left(-15x+25\right)$$

Decomponha 3x no primeiro grupo e -5 no segundo.

$$3x\left(3x-5\right)-5\left(3x-5\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-5\right)\left(3x-5\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(3x-5\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva 3x-5=0.

$$x=\frac{5}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, -30 por b e 25 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 25}}{2\times 9}$$

Multiplique -36 vezes 25.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 9}$$

Some 900 com -900.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$x=-\frac{-30}{2\times 9}$$

O oposto de -30 é 30.

$$x=\frac{30}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$x=\frac{30}{18}$$

Reduza a fração \frac{30}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=\frac{5}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-30x+25=0$$

Subtraia 25 de ambos os lados da equação.

$$9x^{2}-30x+25-25=-25$$

Subtrair 25 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$9x^{2}-30x=-25$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9x^{2}-30x}{9}=-\frac{25}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)x=-\frac{25}{9}$$

Reduza a fração \frac{-30}{9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{25}{9}$$

Divida -\frac{10}{3}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter -\frac{5}{3}. Em seguida, some o quadrado de -\frac{5}{3} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{25}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{5}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{-25+25}{9}$$

Some -\frac{25}{9} com \frac{25}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$$

Fatorize x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$x-\frac{5}{3}=0 x-\frac{5}{3}=0$$

Some \frac{5}{3} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{5}{3} x=\frac{5}{3}$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$x=\frac{5}{3}$$