Resolver 9x^2-24x+16=0

$$9 { x }^{ 2 } -24x+16=0$$

Resolva para x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 9x^{2}+ax+bx+16. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-24 ab=9\times 16=144$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

A solução é o par que devolve a soma -24.

$$a=-12 b=-12$$

Reescreva 9x^{2}-24x+16 como \left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Fator out 3x no primeiro e -4 no segundo grupo.

$$3x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-4 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva 3x-4=0.

$$x=\frac{4}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 9 por a, -24 por b e 16 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Calcule o quadrado de -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplique -4 vezes 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Multiplique -36 vezes 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Some 576 com -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 9}$$

O oposto de -24 é 24.

$$x=\frac{24}{2\times 9}$$

Multiplique 2 vezes 9.

$$x=\frac{24}{18}$$

Reduza a fração \frac{24}{18} para os termos mais baixos ao retirar e anular 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Subtraia 16 de ambos os lados da equação.

$$9x^{2}-24x+16-16=-16$$

Subtrair 16 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$9x^{2}-24x=-16$$

Divida ambos os lados por 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=-\frac{16}{9}$$

Dividir por 9 anula a multiplicação por 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=-\frac{16}{9}$$

Reduza a fração \frac{-24}{9} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{16}{9}$$

Divida -\frac{8}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{4}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{4}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{4}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Some -\frac{16}{9} com \frac{16}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=0$$

Fatorize x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$x-\frac{4}{3}=0 x-\frac{4}{3}=0$$

Some \frac{4}{3} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{4}{3}$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$x=\frac{4}{3}$$