Resolver 84x^2+4sqrt{3}x+3=0

$$84 x ^ { 2 } + 4 \sqrt { 3 } x + 3 = 0$$

Resolva para x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305+0,184427778i$$

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}\approx -0,041239305-0,184427778i$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 84 por a, 4\sqrt{3} por b e 3 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Calcule o quadrado de 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-4\times 84\times 3}}{2\times 84}$$

Multiplique -4 vezes 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-336\times 3}}{2\times 84}$$

Multiplique -336 vezes 3.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{48-1008}}{2\times 84}$$

Some 48 com -1008.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±\sqrt{-960}}{2\times 84}$$

Calcule a raiz quadrada de -960.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{2\times 84}$$

Multiplique 2 vezes 84.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} quando ± for uma adição. Some -4\sqrt{3} com 8i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}+8\sqrt{15}i}{168}$$

Divida -4\sqrt{3}+8i\sqrt{15} por 168.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-4\sqrt{3}±8\sqrt{15}i}{168} quando ± for uma subtração. Subtraia 8i\sqrt{15} de -4\sqrt{3}.

$$x=\frac{-8\sqrt{15}i-4\sqrt{3}}{168}$$

Divida -4\sqrt{3}-8i\sqrt{15} por 168.

$$x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3=0$$

Subtraia 3 de ambos os lados da equação.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x+3-3=-3$$

Subtrair 3 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$84x^{2}+4\sqrt{3}x=-3$$

Divida ambos os lados por 84.

$$\frac{84x^{2}+4\sqrt{3}x}{84}=-\frac{3}{84}$$

Dividir por 84 anula a multiplicação por 84.

$$x^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{84}x=-\frac{3}{84}$$

Divida 4\sqrt{3} por 84.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{3}{84}$$

Reduza a fração \frac{-3}{84} para os termos mais baixos ao retirar e anular 3.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x=-\frac{1}{28}$$

Divida \frac{\sqrt{3}}{21}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{\sqrt{3}}{42}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{\sqrt{3}}{42} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{\sqrt{3}}{42}.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{588}$$

Some -\frac{1}{28} com \frac{1}{588} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}=-\frac{5}{147}$$

Fatorize x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{21}x+\frac{1}{588}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}=-\frac{5}{147}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{3}}{42}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{147}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{\sqrt{3}}{42}=\frac{\sqrt{15}i}{21} x+\frac{\sqrt{3}}{42}=-\frac{\sqrt{15}i}{21}$$

Subtraia \frac{\sqrt{3}}{42} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42} x=-\frac{\sqrt{15}i}{21}-\frac{\sqrt{3}}{42}$$