Resolver 81x^2-54x+9=0

$$81 x ^ { 2 } - 54 x + 9 = 0$$

Resolva para x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 9.

$$9x^{2}-6x+1=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 9x^{2}+ax+bx+1. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-6 ab=9\times 1=9$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

A solução é o par que devolve a soma -6.

$$a=-3 b=-3$$

Reescreva 9x^{2}-6x+1 como \left(9x^{2}-3x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(9x^{2}-3x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Fator out 3x no primeiro e -1 no segundo grupo.

$$3x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 3x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(3x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Reescreva como um quadrado binomial.

$$\left(3x-1\right)^{2}$$

Para localizar a solução da equação, resolva 3x-1=0.

$$x=\frac{1}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$81x^{2}-54x+9=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 81 por a, -54 por b e 9 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

Calcule o quadrado de -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 81\times 9}}{2\times 81}$$

Multiplique -4 vezes 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-324\times 9}}{2\times 81}$$

Multiplique -324 vezes 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 81}$$

Some 2916 com -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Calcule a raiz quadrada de 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 81}$$

O oposto de -54 é 54.

$$x=\frac{54}{2\times 81}$$

Multiplique 2 vezes 81.

$$x=\frac{54}{162}$$

Reduza a fração \frac{54}{162} para os termos mais baixos ao retirar e anular 54.

$$x=\frac{1}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$81x^{2}-54x+9=0$$

Subtraia 9 de ambos os lados da equação.

$$81x^{2}-54x+9-9=-9$$

Subtrair 9 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$81x^{2}-54x=-9$$

Divida ambos os lados por 81.

$$\frac{81x^{2}-54x}{81}=-\frac{9}{81}$$

Dividir por 81 anula a multiplicação por 81.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{81}\right)x=-\frac{9}{81}$$

Reduza a fração \frac{-54}{81} para os termos mais baixos ao retirar e anular 27.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{81}$$

Reduza a fração \frac{-9}{81} para os termos mais baixos ao retirar e anular 9.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Divida -\frac{2}{3}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{1}{3}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{1}{3} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{1}{3}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Some -\frac{1}{9} com \frac{1}{9} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Fatorize x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifique.

$$x-\frac{1}{3}=0 x-\frac{1}{3}=0$$

Some \frac{1}{3} a ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

A equação está resolvida. As soluções são iguais.

$$x=\frac{1}{3}$$