Resolver 8x^4-14x^2-9

$$8 x ^ { 4 } - 14 x ^ { 2 } - 9$$

Fatorizar

$$\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)\left(2x^{2}+1\right)$$

Passos Para a Resolução

Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$8x^{4}-14x^{2}-9=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante -9 e q divide o coeficiente inicial 8. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{8},±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{8},±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=\frac{3}{2}$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 8x^{4}-14x^{2}-9 por 2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3 para obter 4x^{3}+6x^{2}+2x+3. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$4x^{3}+6x^{2}+2x+3=0$$

De acordo com o Teorema das Raízes Racionais, todas as raízes racionais de um polinómio estão no formato \frac{p}{q}, em que p divide o termo constante 3 e q divide o coeficiente inicial 4. Indique todos os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Encontre uma dessas raízes ao experimentar todos os valores inteiros. Comece pelo menor por valor absoluto. Se não encontrar nenhuma raiz de número inteiro, experimente frações.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Por teorema do fator, x-k é um fator do polinomial para cada raiz k. Dividir 4x^{3}+6x^{2}+2x+3 por 2\left(x+\frac{3}{2}\right)=2x+3 para obter 2x^{2}+1. Para fatorizar o resultado, resolva a equação igual a 0.

$$2x^{2}+1=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitua 2 por a, 0 por b e 1 por c na fórmula quadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Efetue os cálculos.

$$x=\frac{0±\sqrt{-8}}{4}$$

O polinómio 2x^{2}+1 não é fatorizado, pois não tem raízes racionais.

$$2x^{2}+1$$

Reescreva a expressão fatorizada ao utilizar as raízes obtidas.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)\left(2x^{2}+1\right)$$

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$$8x^{4}-14x^{2}-9$$