Resolver 8x^2-22x+15

$$8 x ^ { 2 } - 22 x + 15$$

Fatorizar

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Passos Para a Resolução

Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 8x^{2}+ax+bx+15. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-22 ab=8\times 15=120$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

A solução é o par que devolve a soma -22.

$$a=-12 b=-10$$

Reescreva 8x^{2}-22x+15 como \left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right)$$

Fator out 4x no primeiro e -5 no segundo grupo.

$$4x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+15=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Calcule o quadrado de -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Multiplique -4 vezes 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 15}}{2\times 8}$$

Multiplique -32 vezes 15.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2\times 8}$$

Some 484 com -480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

Calcule a raiz quadrada de 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2\times 8}$$

O oposto de -22 é 22.

$$x=\frac{22±2}{2\times 8}$$

Multiplique 2 vezes 8.

$$x=\frac{22±2}{16}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{22±2}{16} quando ± for uma adição. Some 22 com 2.

$$x=\frac{24}{16}$$

Reduza a fração \frac{24}{16} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{22±2}{16} quando ± for uma subtração. Subtraia 2 de 22.

$$x=\frac{20}{16}$$

Reduza a fração \frac{20}{16} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=\frac{5}{4}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{3}{2} por x_{1} e \frac{5}{4} por x_{2}.

$$8x^{2}-22x+15=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Subtraia \frac{3}{2} de x ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Subtraia \frac{5}{4} de x ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x-5}{4}$$

Multiplique \frac{2x-3}{2} vezes \frac{4x-5}{4} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{8}$$

Anule o maior fator comum 8 em 8 e 8.

$$8x^{2}-22x+15=\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

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$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$