Resolver 8t^2+10t-3=0

$$8 t ^ { 2 } + 10 t - 3 = 0$$

Resolva para t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 8t^{2}+at+bt-3. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=10 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

A solução é o par que devolve a soma 10.

$$a=-2 b=12$$

Reescreva 8t^{2}+10t-3 como \left(8t^{2}-2t\right)+\left(12t-3\right).

$$\left(8t^{2}-2t\right)+\left(12t-3\right)$$

Fator out 2t no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$2t\left(4t-1\right)+3\left(4t-1\right)$$

Decomponha o termo comum 4t-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(4t-1\right)\left(2t+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva 4t-1=0 e 2t+3=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$8t^{2}+10t-3=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 8 por a, 10 por b e -3 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Calcule o quadrado de 10.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Multiplique -4 vezes 8.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Multiplique -32 vezes -3.

$$t=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 8}$$

Some 100 com 96.

$$t=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 8}$$

Calcule a raiz quadrada de 196.

$$t=\frac{-10±14}{2\times 8}$$

Multiplique 2 vezes 8.

$$t=\frac{-10±14}{16}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-10±14}{16} quando ± for uma adição. Some -10 com 14.

$$t=\frac{4}{16}$$

Reduza a fração \frac{4}{16} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$t=\frac{1}{4}$$

Agora, resolva a equação t=\frac{-10±14}{16} quando ± for uma subtração. Subtraia 14 de -10.

$$t=-\frac{24}{16}$$

Reduza a fração \frac{-24}{16} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$t=-\frac{3}{2}$$

A equação está resolvida.

$$t=\frac{1}{4} t=-\frac{3}{2}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$8t^{2}+10t-3=0$$

Some 3 a ambos os lados da equação.

$$8t^{2}+10t-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtrair -3 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$8t^{2}+10t=-\left(-3\right)$$

Subtraia -3 de 0.

$$8t^{2}+10t=3$$

Divida ambos os lados por 8.

$$\frac{8t^{2}+10t}{8}=\frac{3}{8}$$

Dividir por 8 anula a multiplicação por 8.

$$t^{2}+\frac{10}{8}t=\frac{3}{8}$$

Reduza a fração \frac{10}{8} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t=\frac{3}{8}$$

Divida \frac{5}{4}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{5}{8}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{5}{8} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{5}{8}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}=\frac{3}{8}+\frac{25}{64}$$

Some \frac{3}{8} com \frac{25}{64} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}=\frac{49}{64}$$

Fatorize t^{2}+\frac{5}{4}t+\frac{25}{64}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(t+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Simplifique.

$$t+\frac{5}{8}=\frac{7}{8} t+\frac{5}{8}=-\frac{7}{8}$$

Subtraia \frac{5}{8} de ambos os lados da equação.

$$t=\frac{1}{4} t=-\frac{3}{2}$$