Resolver 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Fatorizar

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Passos Para a Resolução

Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 8x^{2}+ax+bx-15. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

A solução é o par que devolve a soma -14.

$$a=-20 b=6$$

Reescreva 8x^{2}-14x-15 como \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Decomponha 4x no primeiro grupo e 3 no segundo.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Decomponha o termo comum 2x-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Calcule o quadrado de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Multiplique -4 vezes 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Multiplique -32 vezes -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Some 196 com 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Calcule a raiz quadrada de 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

O oposto de -14 é 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Multiplique 2 vezes 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{14±26}{16} quando ± for uma adição. Some 14 com 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Reduza a fração \frac{40}{16} para os termos mais baixos ao retirar e anular 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{14±26}{16} quando ± for uma subtração. Subtraia 26 de 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Reduza a fração \frac{-12}{16} para os termos mais baixos ao retirar e anular 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{5}{2} por x_{1} e -\frac{3}{4} por x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Simplifique todas as expressões de p-\left(-q\right) para p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Subtraia \frac{5}{2} de x ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Some \frac{3}{4} com x ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Multiplique \frac{2x-5}{2} vezes \frac{4x+3}{4} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Multiplique 2 vezes 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Anule o maior fator comum 8 em 8 e 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

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$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$