Resolver 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Fatorizar

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Passos Para a Resolução

Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 77r^{2}+ar+br-18. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

A solução é o par que devolve a soma 45.

$$a=-21 b=66$$

Reescreva 77r^{2}+45r-18 como \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Fator out 7r no primeiro e 6 no segundo grupo.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Decomponha o termo comum 11r-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Calcule o quadrado de 45.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplique -4 vezes 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Multiplique -308 vezes -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Some 2025 com 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Calcule a raiz quadrada de 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Multiplique 2 vezes 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Agora, resolva a equação r=\frac{-45±87}{154} quando ± for uma adição. Some -45 com 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Reduza a fração \frac{42}{154} para os termos mais baixos ao retirar e anular 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Agora, resolva a equação r=\frac{-45±87}{154} quando ± for uma subtração. Subtraia 87 de -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Reduza a fração \frac{-132}{154} para os termos mais baixos ao retirar e anular 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua \frac{3}{11} por x_{1} e -\frac{6}{7} por x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Simplifique todas as expressões de p-\left(-q\right) para p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Subtraia \frac{3}{11} de r ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Some \frac{6}{7} com r ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Multiplique \frac{11r-3}{11} vezes \frac{7r+6}{7} ao multiplicar o numerador vezes o numerador e o denominador vezes o denominador. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Multiplique 11 vezes 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Anule o maior fator comum 77 em 77 e 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

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$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$