Resolver 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Divida ambos os lados por 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 15x^{2}+ax+bx-2. Para localizar a e b, configure um sistema para ser resolvido.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A solução é o par que devolve a soma 7.

$$a=-3 b=10$$

Reescreva 15x^{2}+7x-2 como \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Decomponha 3x no primeiro grupo e 2 no segundo.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Decomponha o termo comum 5x-1 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Para localizar soluções de equação, solucione 5x-1=0 e 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 75 por a, 35 por b e -10 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Calcule o quadrado de 35.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplique -4 vezes 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Multiplique -300 vezes -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Some 1225 com 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Calcule a raiz quadrada de 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Multiplique 2 vezes 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-35±65}{150} quando ± for uma adição. Some -35 com 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Reduza a fração \frac{30}{150} para os termos mais baixos ao retirar e anular 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-35±65}{150} quando ± for uma subtração. Subtraia 65 de -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Reduza a fração \frac{-100}{150} para os termos mais baixos ao retirar e anular 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

A equação está resolvida.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Some 10 a ambos os lados da equação.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Subtrair -10 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Subtraia -10 de 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Divida ambos os lados por 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Dividir por 75 anula a multiplicação por 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Reduza a fração \frac{35}{75} para os termos mais baixos ao retirar e anular 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Reduza a fração \frac{10}{75} para os termos mais baixos ao retirar e anular 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Divida \frac{7}{15}, o coeficiente do termo x, por 2 para obter \frac{7}{30}. Em seguida, some o quadrado de \frac{7}{30} a ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{7}{30}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Some \frac{2}{15} com \frac{49}{900} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Fatorize x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Subtraia \frac{7}{30} de ambos os lados da equação.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$