Resolver 72y^2-176y+64

$$72 y ^ { 2 } - 176 y + 64$$

Fatorizar

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Passos Para a Resolução

Decomponha 8.

$$8\left(9y^{2}-22y+8\right)$$

Considere 9y^{2}-22y+8. Fatorize a expressão ao agrupar. Em primeiro lugar, a expressão tem de ser reescrita como 9y^{2}+ay+by+8. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-22 ab=9\times 8=72$$

Uma vez que ab é positivo, a e b têm o mesmo sinal. Uma vez que a+b é negativo, a e b são ambos negativos. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

A solução é o par que devolve a soma -22.

$$a=-18 b=-4$$

Reescreva 9y^{2}-22y+8 como \left(9y^{2}-18y\right)+\left(-4y+8\right).

$$\left(9y^{2}-18y\right)+\left(-4y+8\right)$$

Fator out 9y no primeiro e -4 no segundo grupo.

$$9y\left(y-2\right)-4\left(y-2\right)$$

Decomponha o termo comum y-2 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Reescreva a expressão fatorizada completa.

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

O polinómio quadrático pode ser fatorizado através da transformação ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), em que x_{1} e x_{2} são as soluções da equação quadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$72y^{2}-176y+64=0$$

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{\left(-176\right)^{2}-4\times 72\times 64}}{2\times 72}$$

Calcule o quadrado de -176.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-4\times 72\times 64}}{2\times 72}$$

Multiplique -4 vezes 72.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-288\times 64}}{2\times 72}$$

Multiplique -288 vezes 64.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-18432}}{2\times 72}$$

Some 30976 com -18432.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{12544}}{2\times 72}$$

Calcule a raiz quadrada de 12544.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±112}{2\times 72}$$

O oposto de -176 é 176.

$$y=\frac{176±112}{2\times 72}$$

Multiplique 2 vezes 72.

$$y=\frac{176±112}{144}$$

Agora, resolva a equação y=\frac{176±112}{144} quando ± for uma adição. Some 176 com 112.

$$y=\frac{288}{144}$$

Divida 288 por 144.

$$y=2$$

Agora, resolva a equação y=\frac{176±112}{144} quando ± for uma subtração. Subtraia 112 de 176.

$$y=\frac{64}{144}$$

Reduza a fração \frac{64}{144} para os termos mais baixos ao retirar e anular 16.

$$y=\frac{4}{9}$$

Fatorize a expressão original através de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitua 2 por x_{1} e \frac{4}{9} por x_{2}.

$$72y^{2}-176y+64=72\left(y-2\right)\left(y-\frac{4}{9}\right)$$

Subtraia \frac{4}{9} de y ao localizar um denominador comum e ao subtrair os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$72y^{2}-176y+64=72\left(y-2\right)\times \frac{9y-4}{9}$$

Anule o maior fator comum 9 em 72 e 9.

$$72y^{2}-176y+64=8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Avaliar

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$