Resolver 7x-y=-6text{and}x-y=0

$$7 x - y = - 6 \text { and } x - y = 0$$

Resolva para x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Passos Para Utilizar a Substituição

Para resolver um par de equações através da substituição, primeiro resolva uma das equações para uma das variáveis. Em seguida, substitua o resultado dessa variável na outra equação.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Escolha uma das equações e resolva-a para x isolando x no lado esquerdo do sinal igual.

$$7x-y=-6$$

Some y a ambos os lados da equação.

$$7x=y-6$$

Divida ambos os lados por 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-6\right)$$

Multiplique \frac{1}{7} vezes y-6.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}$$

Substitua \frac{-6+y}{7} por x na outra equação, x-y=0.

$$\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}-y=0$$

Some \frac{y}{7} com -y.

$$-\frac{6}{7}y-\frac{6}{7}=0$$

Some \frac{6}{7} a ambos os lados da equação.

$$-\frac{6}{7}y=\frac{6}{7}$$

Divida ambos os lados da equação por -\frac{6}{7}, que é o mesmo que multiplicar ambos os lados pelo recíproco da fração.

$$y=-1$$

Substitua -1 por y em x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para x.

$$x=\frac{1}{7}\left(-1\right)-\frac{6}{7}$$

Multiplique \frac{1}{7} vezes -1.

$$x=\frac{-1-6}{7}$$

Some -\frac{6}{7} com -\frac{1}{7} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x=-1$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=-1$$

Passos Para Utilizar Matrizes

Coloque as equações no formato padrão e, em seguida, utilize matrizes para resolver o sistema de equações.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Escreva as equações sob forma de matriz.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplique a equação à esquerda pela matriz inversa de \left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

O produto de uma matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplicar as matrizes no lado esquerdo do sinal de igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

No caso da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), pelo que a equação de matriz pode ser reescrita como um problema de multiplicação de matriz.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplique as matrizes.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)\\\frac{1}{6}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Efetue o cálculo aritmético.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extraia os elementos x e y da matriz.

$$x=-1,y=-1$$

Passos Para Utilizar a Eliminação

Para resolver através da eliminação, os coeficientes de uma das variáveis têm de ser iguais em ambas as equações, para que a variável seja anulada quando uma equação é subtraída da outra.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Subtraia x-y=0 de 7x-y=-6 ao subtrair termos semelhantes em cada lado do sinal de igual.

$$7x-x-y+y=-6$$

Some -y com y. Os termos -y e y são anulados, deixando uma equação com apenas uma variável que pode ser resolvida.

$$7x-x=-6$$

Some 7x com -x.

$$6x=-6$$

Divida ambos os lados por 6.

$$x=-1$$

Substitua -1 por x em x-y=0. Visto que a equação resultante contém apenas uma variável, pode resolver diretamente para y.

$$-1-y=0$$

Some 1 a ambos os lados da equação.

$$-y=1$$

O sistema está resolvido.

$$x=-1,y=-1$$