Resolver 7x^2-32x-15=0

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15 = 0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=5$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 7x^{2}+ax+bx-15. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -105.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

A solução é o par que devolve a soma -32.

$$a=-35 b=3$$

Reescreva 7x^{2}-32x-15 como \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

Fator out 7x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Decomponha o termo comum x-5 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-5=0 e 7x+3=0.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 7 por a, -32 por b e -15 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Calcule o quadrado de -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Multiplique -4 vezes 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Multiplique -28 vezes -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

Some 1024 com 420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

Calcule a raiz quadrada de 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

O oposto de -32 é 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

Multiplique 2 vezes 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{32±38}{14} quando ± for uma adição. Some 32 com 38.

$$x=\frac{70}{14}$$

Divida 70 por 14.

$$x=5$$

Agora, resolva a equação x=\frac{32±38}{14} quando ± for uma subtração. Subtraia 38 de 32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Reduza a fração \frac{-6}{14} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

A equação está resolvida.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Some 15 a ambos os lados da equação.

$$7x^{2}-32x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Subtrair -15 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$7x^{2}-32x=-\left(-15\right)$$

Subtraia -15 de 0.

$$7x^{2}-32x=15$$

Divida ambos os lados por 7.

$$\frac{7x^{2}-32x}{7}=\frac{15}{7}$$

Dividir por 7 anula a multiplicação por 7.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x=\frac{15}{7}$$

Divida -\frac{32}{7}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{16}{7}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{16}{7} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{15}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{16}{7}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{15}{7}+\frac{256}{49}$$

Some \frac{15}{7} com \frac{256}{49} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}=\frac{361}{49}$$

Fatorize x^{2}-\frac{32}{7}x+\frac{256}{49}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{361}{49}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{49}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{16}{7}=\frac{19}{7} x-\frac{16}{7}=-\frac{19}{7}$$

Some \frac{16}{7} a ambos os lados da equação.

$$x=5 x=-\frac{3}{7}$$