Resolver 7x^2-18x-9=0

$$7 x ^ { 2 } - 18 x - 9 = 0$$

Resolva para x

$$x=-\frac{3}{7}\approx -0,428571429$$

$$x=3$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 7x^{2}+ax+bx-9. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=-18 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez a+b negativo, o número negativo tem um valor absoluto maior do que o positivo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -63.

$$1,-63 3,-21 7,-9$$

Calcule a soma de cada par.

$$1-63=-62 3-21=-18 7-9=-2$$

A solução é o par que devolve a soma -18.

$$a=-21 b=3$$

Reescreva 7x^{2}-18x-9 como \left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(3x-9\right)$$

Fator out 7x no primeiro e 3 no segundo grupo.

$$7x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Decomponha o termo comum x-3 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(7x+3\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-3=0 e 7x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 7 por a, -18 por b e -9 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Calcule o quadrado de -18.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplique -4 vezes 7.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Multiplique -28 vezes -9.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+252}}{2\times 7}$$

Some 324 com 252.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{576}}{2\times 7}$$

Calcule a raiz quadrada de 576.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±24}{2\times 7}$$

O oposto de -18 é 18.

$$x=\frac{18±24}{2\times 7}$$

Multiplique 2 vezes 7.

$$x=\frac{18±24}{14}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{18±24}{14} quando ± for uma adição. Some 18 com 24.

$$x=\frac{42}{14}$$

Divida 42 por 14.

$$x=3$$

Agora, resolva a equação x=\frac{18±24}{14} quando ± for uma subtração. Subtraia 24 de 18.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Reduza a fração \frac{-6}{14} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

A equação está resolvida.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-18x-9=0$$

Some 9 a ambos os lados da equação.

$$7x^{2}-18x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtrair -9 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$7x^{2}-18x=-\left(-9\right)$$

Subtraia -9 de 0.

$$7x^{2}-18x=9$$

Divida ambos os lados por 7.

$$\frac{7x^{2}-18x}{7}=\frac{9}{7}$$

Dividir por 7 anula a multiplicação por 7.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x=\frac{9}{7}$$

Divida -\frac{18}{7}, o coeficiente do termo x, 2 para obter -\frac{9}{7}. Em seguida, adicione o quadrado de -\frac{9}{7} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de -\frac{9}{7}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{9}{7}+\frac{81}{49}$$

Some \frac{9}{7} com \frac{81}{49} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}=\frac{144}{49}$$

Fatorize x^{2}-\frac{18}{7}x+\frac{81}{49}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{144}{49}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{49}}$$

Simplifique.

$$x-\frac{9}{7}=\frac{12}{7} x-\frac{9}{7}=-\frac{12}{7}$$

Some \frac{9}{7} a ambos os lados da equação.

$$x=3 x=-\frac{3}{7}$$