Resolver 7x^2+2407x-61800=0

$$7 x ^ { 2 } + 2407 x - 61800 = 0$$

Resolva para x

$$x = -\frac{2575}{7} = -367\frac{6}{7} \approx -367,857142857$$

$$x=24$$

Passos com a Fatorização por Agrupamento

Para resolver a equação, fatorize o lado esquerdo ao agrupar. Em primeiro lugar, o lado esquerdo tem de ser reescrito como 7x^{2}+ax+bx-61800. Para encontrar a e b, criar um sistema a ser resolvido.

$$a+b=2407 ab=7\left(-61800\right)=-432600$$

Uma vez que ab é negativo, a e b têm os sinais opostos. Uma vez que a+b é positivo, o número positivo tem um valor absoluto maior do que o negativo. Apresente todos os pares de números inteiros que devolvem o produto -432600.

$$-1,432600 -2,216300 -3,144200 -4,108150 -5,86520 -6,72100 -7,61800 -8,54075 -10,43260 -12,36050 -14,30900 -15,28840 -20,21630 -21,20600 -24,18025 -25,17304 -28,15450 -30,14420 -35,12360 -40,10815 -42,10300 -50,8652 -56,7725 -60,7210 -70,6180 -75,5768 -84,5150 -100,4326 -103,4200 -105,4120 -120,3605 -140,3090 -150,2884 -168,2575 -175,2472 -200,2163 -206,2100 -210,2060 -280,1545 -300,1442 -309,1400 -350,1236 -412,1050 -420,1030 -515,840 -525,824 -600,721 -618,700$$

Calcule a soma de cada par.

$$-1+432600=432599 -2+216300=216298 -3+144200=144197 -4+108150=108146 -5+86520=86515 -6+72100=72094 -7+61800=61793 -8+54075=54067 -10+43260=43250 -12+36050=36038 -14+30900=30886 -15+28840=28825 -20+21630=21610 -21+20600=20579 -24+18025=18001 -25+17304=17279 -28+15450=15422 -30+14420=14390 -35+12360=12325 -40+10815=10775 -42+10300=10258 -50+8652=8602 -56+7725=7669 -60+7210=7150 -70+6180=6110 -75+5768=5693 -84+5150=5066 -100+4326=4226 -103+4200=4097 -105+4120=4015 -120+3605=3485 -140+3090=2950 -150+2884=2734 -168+2575=2407 -175+2472=2297 -200+2163=1963 -206+2100=1894 -210+2060=1850 -280+1545=1265 -300+1442=1142 -309+1400=1091 -350+1236=886 -412+1050=638 -420+1030=610 -515+840=325 -525+824=299 -600+721=121 -618+700=82$$

A solução é o par que devolve a soma 2407.

$$a=-168 b=2575$$

Reescreva 7x^{2}+2407x-61800 como \left(7x^{2}-168x\right)+\left(2575x-61800\right).

$$\left(7x^{2}-168x\right)+\left(2575x-61800\right)$$

Fator out 7x no primeiro e 2575 no segundo grupo.

$$7x\left(x-24\right)+2575\left(x-24\right)$$

Decomponha o termo comum x-24 ao utilizar a propriedade distributiva.

$$\left(x-24\right)\left(7x+2575\right)$$

Para encontrar soluções de equação, resolva x-24=0 e 7x+2575=0.

$$x=24 x=-\frac{2575}{7}$$

Passos Para Utilizar a Fórmula Quadrática

Todas as equações com o formato ax^{2}+bx+c=0 podem ser resolvidas com a fórmula quadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula quadrática fornece duas soluções, uma quando ± corresponde à adição e outra quando corresponde à subtração.

$$7x^{2}+2407x-61800=0$$

Esta equação está no formato padrão: ax^{2}+bx+c=0. Substitua 7 por a, 2407 por b e -61800 por c na fórmula quadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{2407^{2}-4\times 7\left(-61800\right)}}{2\times 7}$$

Calcule o quadrado de 2407.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{5793649-4\times 7\left(-61800\right)}}{2\times 7}$$

Multiplique -4 vezes 7.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{5793649-28\left(-61800\right)}}{2\times 7}$$

Multiplique -28 vezes -61800.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{5793649+1730400}}{2\times 7}$$

Some 5793649 com 1730400.

$$x=\frac{-2407±\sqrt{7524049}}{2\times 7}$$

Calcule a raiz quadrada de 7524049.

$$x=\frac{-2407±2743}{2\times 7}$$

Multiplique 2 vezes 7.

$$x=\frac{-2407±2743}{14}$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2407±2743}{14} quando ± for uma adição. Some -2407 com 2743.

$$x=\frac{336}{14}$$

Divida 336 por 14.

$$x=24$$

Agora, resolva a equação x=\frac{-2407±2743}{14} quando ± for uma subtração. Subtraia 2743 de -2407.

$$x=-\frac{5150}{14}$$

Reduza a fração \frac{-5150}{14} para os termos mais baixos ao retirar e anular 2.

$$x=-\frac{2575}{7}$$

A equação está resolvida.

$$x=24 x=-\frac{2575}{7}$$

Passos Para Completar o Quadrado

As equações quadráticas tal como esta podem ser resolvidas através da conclusão do quadrado. Para concluir o quadrado, primeiro a equação tem de estar no formato x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+2407x-61800=0$$

Some 61800 a ambos os lados da equação.

$$7x^{2}+2407x-61800-\left(-61800\right)=-\left(-61800\right)$$

Subtrair -61800 do próprio valor devolve o resultado 0.

$$7x^{2}+2407x=-\left(-61800\right)$$

Subtraia -61800 de 0.

$$7x^{2}+2407x=61800$$

Divida ambos os lados por 7.

$$\frac{7x^{2}+2407x}{7}=\frac{61800}{7}$$

Dividir por 7 anula a multiplicação por 7.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x=\frac{61800}{7}$$

Divida \frac{2407}{7}, o coeficiente do termo x, 2 para obter \frac{2407}{14}. Em seguida, adicione o quadrado de \frac{2407}{14} para ambos os lados da equação. Este passo faz do lado esquerdo da equação um quadrado perfeito.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x+\left(\frac{2407}{14}\right)^{2}=\frac{61800}{7}+\left(\frac{2407}{14}\right)^{2}$$

Calcule o quadrado de \frac{2407}{14}, ao elevar ao quadrado o numerador e o denominador da fração.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x+\frac{5793649}{196}=\frac{61800}{7}+\frac{5793649}{196}$$

Some \frac{61800}{7} com \frac{5793649}{196} ao localizar um denominador comum e ao somar os numeradores. Em seguida, se possível, reduza a fração para os termos mais baixos.

$$x^{2}+\frac{2407}{7}x+\frac{5793649}{196}=\frac{7524049}{196}$$

Fatorize x^{2}+\frac{2407}{7}x+\frac{5793649}{196}. Em geral, quando x^{2}+bx+c é um quadrado perfeito, pode sempre ser fatorizado como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2407}{14}\right)^{2}=\frac{7524049}{196}$$

Calcule a raiz quadrada de ambos os lados da equação.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2407}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7524049}{196}}$$

Simplifique.

$$x+\frac{2407}{14}=\frac{2743}{14} x+\frac{2407}{14}=-\frac{2743}{14}$$

Subtraia \frac{2407}{14} de ambos os lados da equação.

$$x=24 x=-\frac{2575}{7}$$